Wealth Compass

 Você tem toda razão. Às vezes, a matemática pode parecer um truque de mágica!

Vou tentar explicar o motivo da subtração sem usar as fórmulas complexas, focando apenas na lógica do cancelamento.

Imagine que você está tentando somar uma lista muito longa de salários:

$$\text{Soma Total }(S_n)=\text{Dia 1}+\text{Dia 2}+\text{Dia 3}+\cdots +\text{Dia 29}+\text{Dia 30}$$

1. A Ideia do "Truque"

A ideia do "truque" da fórmula é multiplicar a lista inteira por 2 (a razão) e depois subtrair a lista original. Por quê?

• O pagamento do Dia 2 é o dobro do Dia 1.

• O pagamento do Dia 3 é o dobro do Dia 2.

• ...e assim por diante.

Quando você multiplica a lista inteira por 2, cada dia "novo" (na lista duplicada) se alinha perfeitamente com o dia seguinte na lista original.

2. O Cancelamento

Veja o que acontece quando você alinha as duas listas para subtrair:

Série Duplicada ($2{\mathbf{S}}_{\mathbf{n}}$)		Série Original (${\mathbf{S}}_{\mathbf{n}}$)
		$+\text{Dia 1}$
$\text{Dia 2}$	$-$	$-\text{Dia 2}$
$\text{Dia 3}$	$-$	$-\text{Dia 3}$
$\dots$	$-$	$\dots$
$\text{Dia 30}$	$-$	$-\text{Dia 30}$
$+\text{Dia 31}$ (último dia da série duplicada)

• O Dia 2 na lista duplicada é igual ao Dia 2 na lista original. Então, $\text{Dia 2}-\text{Dia 2}=0$.

• O Dia 3 na lista duplicada é igual ao Dia 3 na lista original. Então, $\text{Dia 3}-\text{Dia 3}=0$.

• Isso acontece com todos os dias, do Dia 2 até o Dia 30!

3. O Que Sobra

Depois de todos esses cancelamentos, sobram apenas dois valores que não se anularam:

1. O último dia da série duplicada (que é Dia 31 no exemplo de 30 dias).

2. O primeiro dia da série original (Dia 1).

Portanto, a subtração gigante simplifica para:

Sn​=(Uˊltimo Dia na seˊrie duplicada)−(Primeiro Dia na seˊrie original)

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Resposta Direta às Subtrações na Fórmula

Se você olhar a fórmula novamente:

$$S_n=a_1\cdot \frac{\stackrel{\text{Numerador}}{(r^n-1)}}{\underset{\text{Denominador}}{r-1}}$$

• Denominador ($\mathbf{r}-1$): É a razão (2) menos 1, que representa a subtração 2Sn​−Sn​=Sn​. Como $2-1=1$, essa parte simplesmente isola a soma total, Sn​.

• Numerador (${\mathbf{r}}^{\mathbf{n}}-1$): É o resultado dos termos que não se cancelam (o último termo menos o primeiro termo), ou seja: Dia 31−Dia 1.

É um método extremamente eficaz para somar longas sequências de números que dobram a cada passo.